Please use this identifier to cite or link to this item: http://hdl.handle.net/10889/10978
Title: A new semi-Gaussian quadrature rule for finite-part integrals in crack problems with a second-order singularity
Other Titles: Ένας νέος ημι-Γκαουσιανός κανόνας αριθμητικής ολοκληρώσεως για ολοκληρώματα πεπερασμένου μέρους σε προβλήματα ρωγμών με ιδιομορφία δευτέρας τάξεως
Authors: Ioakimidis, Nikolaos
Keywords: Two-dimensional plane cracks
Three-dimensional elasticity
Singular integrals
Hypersingular integrals
Finite-part integrals
Hadamard-type integrals
Quadrature rules
Numerical integration
Gaussian integration
Nodes and weights
Second-order singularity
Kutt's quadrature rule
Keywords (translated): Διδιάστατες επίπεδες ρωγμές
Τριδιάστατη ελαστικότητα
Ιδιόμορφα ολοκληρώματα
Υπεριδιόμορφα ολοκληρώματα
Ολοκληρώματα πεπερασμένου μέρους
Ολοκληρώματα τύπου Hadamard
Κανόνες αριθμητικής ολοκληρώσεως
Αριθμητική ολοκλήρωση
Γκαουσιανή ολοκλήρωση
Κόμβοι και βάρη
Ιδιομορφία δευτέρας τάξεως
Κανόνας αριθμητικής ολοκληρώσεως του Kutt
Abstract: Finite-part (hypersingular or Hadamard-type) integrals appear, naturally, in two-dimensional crack and additional problems in three-dimensional elasticity. Their computation along the radial direction leads to a one-dimensional finite-part integral on the interval [0,1] with a second-order singularity at the left end, x=0, of this interval. Kutt's Gauss–Jacobi-equivalent quadrature rule (on [0,1]) is the natural approach to the computation of this finite-part integral, but the appearance of two complex conjugate nodes (and analogous weights) outside the integration interval is a physically serious disadvantage to its use. Although the subtraction of the singularity is completely possible, here a new, semi-Gaussian quadrature rule is suggested for n = 4, 5, . . . , 10 nodes, where no node lies outside the integration interval [0,1] (exactly as in classical Gaussian quadrature rules) and, moreover, no derivative of the integrand appears in the approximation to the integral on [0,1]. The polynomial accuracy of the present quadrature rule for finite-part integrals is very high and equal to 2n-3. The proposed quadrature rule seems to be a reasonable choice (as an alternative both to Kutt's rule and to the subtraction of the singularity approach) during the evaluation of two-dimensional finite-part integrals in crack and related problems. The computation of the nodes and the weights (for n = 4, 5, . . . , 10 nodes) is described in brief and numerical results for both of these quantities are displayed together with experimental numerical results, which illustrate both the accuracy and the rapid convergence of the present quadrature rule.
Abstract (translated): Ολοκληρώματα πεπερασμένου μέρους (υπεριδιόμορφα ολοκληρώματα ή ολοκληρώματα τύπου Hadamard) εμφανίζονται με φυσικό τρόπο σε προβλήματα ρωγμών και σε άλλα προβλήματα της τριδιάστατης ελαστικότητας. Ο υπολογισμός τους κατά μήκος της ακτινικής κατεύθυνσης οδηγεί σε ένα μονοδιάστατο ολοκλήρωμα πεπερασμένου μέρους στο διάστημα [0,1] με ιδιομορφία δευτέρας τάξεως στο αριστερό άκρο, x=0, αυτού του διαστήματος. Ο κανόνας αριθμητικής ολοκληρώσεως του Kutt (στο [0,1]), που είναι ισοδύναμος με κανόνα Gauss–Jacobi, είναι η φυσική μέθοδος για τον υπολογισμό αυτού του ολοκληρώματος πεπερασμένου μέρους, αλλ' η εμφάνιση δύο συζυγών μιγαδικών κόμβων (και ανάλογων βαρών) έξω από το διάστημα ολοκληρώσεως είναι από φυσική άποψη ένα σοβαρό μειονέκτημα για τη χρήση του. Αν και η απαλοιφή της ιδιομορφίας είναι απόλυτα δυνατή, εδώ προτείνεται ένας νέος, ημι-Γκαουσιανός κανόνας αριθμητικής ολοκληρώσεως για n = 4, 5, . . . , 10 κόμβους, όπου κανένας κόμβος δεν κείται έξω από το διάστημα ολοκληρώσεως [0,1] (ακριβώς όπως στους κλασικούς Γκαουσιανούς κανόνες αριθμητικής ολοκληρώσεως) και, επιπλέον, καμία παράγωγος της ολοκληρωτέας συναρτήσεως δεν εμφανίζεται στην προσέγγιση του ολοκληρώματος στο [0,1]. Η πολυωνυμική ακρίβεια του παρόντος κανόνα αριθμητικής ολοκληρώσεως για ολοκληρώματα πεπερασμένου μέρους είναι πολύ υψηλή και ίση με 2n-3. Ο προτεινόμενος κανόνας αριθμητικής ολοκληρώσεως φαίνεται να είναι μια λογική επιλογή (σαν μια εναλλακτική δυνατότητα τόσο ως προς τον κανόνα του Kutt όσο και ως προς τη μέθοδο της απαλοιφής της ιδιομορφίας) κατά τον υπολογισμό διδιάστατων ολοκληρωμάτων πεπερασμένου μέρους σε προβλήματα ρωγμών και σε σχετικά προβλήματα. Περιγράφεται σύντομα ο υπολογισμός των κόμβων και των βαρών (για n = 4, 5, . . . , 10 κόμβους) και παρουσιάζονται αποτελέσματα και για τις δύο αυτές ποσότητες μαζί με πειραματικά αριθμητικά αποτελέσματα, που δείχνουν τόσο την ακρίβεια όσο και την ταχεία σύγκλιση του παρόντα κανόνα αριθμητικής ολοκληρώσεως.
Appears in Collections:Γενικό Τμήμα (Τεχνικές Αναφορές)

Files in This Item:
File Description SizeFormat 
TR-1999-N7.pdf250.19 kBAdobe PDFView/Open


This item is licensed under a Creative Commons License Creative Commons