Please use this identifier to cite or link to this item: http://hdl.handle.net/10889/11505
Title: Derivation of feasibility conditions in classical vibration problems by using the method of quantifier elimination
Other Titles: Εύρεση συνθηκών εφικτότητας σε κλασικά προβλήματα ταλαντώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της απαλοιφής ποσοδεικτών
Authors: Ioakimidis, Nikolaos
Keywords: Vibration problems
Design problems
Shear buildings
Natural frequencies
Natural modes
Vibration modes
Rayleigh quotient
Frequency equation
Upper bounds
Lower bounds
Maximization
Minimization
Symbolic computations
Universal quantifier
Existential quantifier
Quantified formulae
Quantifier elimination
Quantifier-free formulae
Computer algebra systems
Mathematica
Keywords (translated): Προβλήματα ταλαντώσεων
Προβλήματα σχεδιασμού
Διατμητικά κτίρια
Ιδιοσυχνότητες
Ιδιομορφές
Ιδιομορφές ταλαντώσεων
Πηλίκο του Rayleigh
Εξίσωση συχνοτήτων
Άνω φράγματα
Κάτω φράγματα
Μεγιστοποίηση
Ελαχιστοποίηση
Συμβολικοί υπολογισμοί
Καθολικός ποσοδείκτης
Υπαρξιακός ποσοδείκτης
Τύποι με ποσοδείκτες
Απαλοιφή ποσοδεικτών
Τύποι χωρίς ποσοδείκτες
Συστήματα υπολογιστικής άλγεβρας
Abstract: The modern computational method of quantifier elimination, which leads to QFFs (quantifier-free formulae) after the elimination of the quantifier(s) involved and the related quantified variables, is applied to classical vibration problems here with respect to the natural frequencies of vibration and by using the efficient implementation of quantifier elimination in the popular computer algebra system Mathematica. These vibration problems concern: (i) The natural frequencies of a uniform five-storey shear building. In this problem, by using the frequency equation the natural frequencies of this building are determined (here in dimensionless form) as well as related upper and lower bounds. (ii) The related problem based on the Rayleigh quotient, which is minimized or maximized here by using again the method of quantifier elimination. This minimization/maximization permits the determination of the smallest/largest natural frequency, respectively, of the same five-storey shear building. (iii) The design problem for a three-storey shear building in such a way that its first (smallest) natural frequency is not less than a predefined value. The related QFFs may include a root of a polynomial or, better, be expressed without using such a root, but only with the use of two or three inequalities including the reduced stiffnesses of the three floors of the building and, evidently, the predefined lower bound of its first natural frequency as well. The above three applications show that quantifier elimination constitutes a powerful and, simultaneously, practically useful computational tool in classical vibration problems related to the natural frequencies of vibration although computational restrictions are present. In the present vibration problems, these restrictions mainly concern the total number of variables, which should not be more than four to six.
Abstract (translated): Η σύγχρονη υπολογιστική μέθοδος της απαλοιφής ποσοδεικτών, που οδηγεί σε τύπους χωρίς ποσοδείκτες μετά την απαλοιφή του σχετικού ποσοδείκτη/των σχετικών ποσοδεικτών και των αντίστοιχων μεταβλητών με ποσοδείκτες, εφαρμόζεται σε κλασικά προβλήματα ταλαντώσεων εδώ σε σχέση με τις ιδιοσυχνότητες ταλαντώσεων και χρησιμοποιώντας την αποτελεσματική υλοποίηση της απαλοιφής ποσοδεικτών στο δημοφιλές σύστημα υπολογιστικής άλγεβρας Mathematica. Αυτά τα προβλήματα ταλαντώσεων αφορούν: (i) Στις ιδιοσυχνότητες ενός ομοιόμορφου πενταώροφου διατμητικού κτιρίου (ή κτιρίου διατμήσεως). Σε αυτό το πρόβλημα χρησιμοποιώντας την εξίσωση συχνοτήτων προσδιορίζονται οι ιδιοσυχνότητες αυτού του κτιρίου (εδώ σε αδιάστατη μορφή) όπως επίσης σχετικά άνω και κάτω φράγματα. (ii) Στο σχετικό πρόβλημα που βασίζεται στο πηλίκο του Rayleigh, το οποίο ελαχιστοποιείται ή μεγιστοποιείται εδώ χρησιμοποιώντας πάλι τη μέθοδο της απαλοιφής ποσοδεικτών. Αυτή η ελαχιστοποίηση/μεγιστοποίηση επιτρέπει τον προσδιορισμό της μικρότερης/μεγαλύτερης ιδιοσυχνότητας αντίστοιχα του ίδιου πενταώροφου διατμητικού κτιρίου. (iii) Στο πρόβλημα σχεδιασμού ενός τριώροφου διατμητικού κτιρίου με τέτοιον τρόπο, ώστε η πρώτη (η μικρότερη) ιδιοσυχνότητά του να μην είναι μικρότερη από μια προκαθορισμένη τιμή. Οι σχετικοί τύποι χωρίς ποσοδείκτες μπορεί να περιλαμβάνουν μια ρίζα πολυωνύμου ή καλύτερα να εκφράζονται χωρίς τη χρήση μιας τέτοιας ρίζας αλλά μόνο με τη χρήση δύο ή τριών ανισοτήτων που περιλαμβάνουν τις ανηγμένες δυσκαμψίες των τριών ορόφων του κτιρίου και, προφανώς, επίσης το προκαθορισμένο κάτω φράγμα της πρώτης του ιδιοσυχνότητας. Οι πιο πάνω τρεις εφαρμογές δείχνουν ότι η απαλοιφή ποσοδεικτών αποτελεί ένα ισχυρό και ταυτόχρονα πρακτικά χρήσιμο υπολογιστικό εργαλείο σε κλασικά προβλήματα ταλαντώσεων που σχετίζονται με τις ιδιοσυχνότητες ταλαντώσεων αν και παρουσιάζονται υπολογιστικοί περιορισμοί. Στα παρόντα προβλήματα ταλαντώσεων αυτοί οι περιορισμοί αφορούν κυρίως στο συνολικό αριθμό των μεταβλητών, που δεν πρέπει να είναι πάνω από τέσσερις έως έξι.
Appears in Collections:Γενικό Τμήμα (Τεχνικές Αναφορές)

Files in This Item:
File Description SizeFormat 
TR-2018-Q2.pdf267.19 kBAdobe PDFView/Open


This item is licensed under a Creative Commons License Creative Commons