Please use this identifier to cite or link to this item: http://hdl.handle.net/10889/11605
Title: Computation of ranges of functions in problems of applied mechanics with the computational method of quantifier elimination
Other Titles: Υπολογισμός πεδίων τιμών συναρτήσεων σε προβλήματα της εφαρμοσμένης μηχανικής με την υπολογιστική μέθοδο της απαλοιφής ποσοδεικτών
Authors: Ioakimidis, Nikolaos
Keywords: Intervals
Arithmetic
Elementary algebra
Beams
Beams on elastic foundation
Winkler foundation
Deflection
Columns
Buckling
Vibration problems
Critical damping
Damped harmonic oscillator
Upper bounds
Lower bounds
Maximization
Minimization
Symbolic computations
Universal quantifier
Quantified formulae
Quantifier elimination
Quantifier-free formulae
Functions
Range
Image
Computer algebra systems
Mathematica
Keywords (translated): Διαστήματα
Αριθμητική
Στοιχειώδης άλγεβρα
Δοκοί
Δοκοί σε ελαστική βάση
Δοκοί σε ελαστικό υπόβαθρο
Θεμελίωση Winkler
Βέλος κάμψεως
Στύλοι
Λυγισμός
Προβλήματα ταλαντώσεων
Κρίσιμη απόσβεση
Αρμονικός ταλαντωτής µε απόσβεση
Άνω φράγματα
Κάτω φράγματα
Μεγιστοποίηση
Ελαχιστοποίηση
Συμβολικοί υπολογισμοί
Καθολικός ποσοδείκτης
Τύποι με ποσοδείκτες
Απαλοιφή ποσοδεικτών
Τύποι χωρίς ποσοδείκτες
Συναρτήσεις
Πεδίο τιμών
Σύνολο τιμών
Εικόνα
Συστήματα υπολογιστικής άλγεβρας
Mathematica
Abstract: The method of quantifier elimination constitutes an interesting and relatively modern computational tool in computer algebra. An efficient implementation of quantifier elimination is included in the computer algebra system Mathematica since 2003. Here after an introduction to the approach of quantifier elimination in Mathematica for the determination of intervals in some simple problems in arithmetic and ranges of functions in elementary algebra, we continue with the determination of ranges of functions concerning problems of applied mechanics. Four such kinds of problems are studied here: (i) Two classical beam problems, (ii) A problem of a beam on a Winkler elastic foundation, (iii) The problem of buckling of the Euler classical column and (iv) A problem of free vibrations of an oscillator with critical damping. In all cases, the ranges of the functions of interest are determined. Yet, Taylor–Maclaurin or minimax or similar approximations are necessary in problems where transcendental functions are involved. Naturally, the method is applicable to a variety of additional problems of applied mechanics although, unfortunately, its power is limited to problems with few variables (both quantified variables and free variables) and not very high degree(s) in the polynomial(s) involved. Therefore, the efficiency of the method is particularly clear mainly in problems involving only a single polynomial of degree about up to twenty and with only one parameter. The case of an interval with a parameter as one end is also in principle acceptable.
Abstract (translated): Η μέθοδος της απαλοιφής ποσοδεικτών αποτελεί ένα ενδιαφέρον και σχετικά σύγχρονο υπολογιστικό εργαλείο στην υπολογιστική άλγεβρα. Μια αποτελεσματική υλοποίηση της απαλοιφής ποσοδεικτών περιλαμβάνεται στο σύστημα υπολογιστικής άλγεβρας Mathematica από το 2003. Εδώ μετά από μια εισαγωγή στη μέθοδο της απαλοιφής ποσοδεικτών στη Mathematica για τον προσδιορισμό διαστημάτων σε μερικά απλά προβλήματα στην αριθμητική και πεδίων (ή συνόλων) τιμών συναρτήσεων στη στοιχειώδη άλγεβρα συνεχίζουμε με τον προσδιορισμό πεδίων (ή συνόλων) τιμών συναρτήσεων που αφορούν σε προβλήματα της εφαρμοσμένης μηχανικής. Εδώ μελετώνται τέσσερα τέτοια είδη προβλημάτων: (i) Δύο κλασικά προβλήματα δοκών, (ii) Ένα πρόβλημα δοκού σε ελαστική θεμελίωση Winkler, (iii) Το πρόβλημα του λυγισμού του κλασικού στύλου του Euler και (iv) Ένα πρόβλημα ελεύθερων ταλαντώσεων ταλαντωτή με κρίσιμη απόσβεση. Σε όλες τις περιπτώσεις προσδιορίζονται τα πεδία (ή σύνολα) τιμών των συναρτήσεων που μας ενδιαφέρουν. Εντούτοις είναι αναγκαίες προσεγγίσεις Taylor–Maclaurin ή προσεγγίσεις minimax ή παρόμοιες προσεγγίσεις σε προβλήματα όπου παρουσιάζονται υπερβατικές συναρτήσεις. Φυσικά, η μέθοδος είναι εφαρμόσιμη σε ποικιλία πρόσθετων προβλημάτων της εφαρμοσμένης μηχανικής αν και, δυστυχώς, η ισχύς της περιορίζεται σε προβλήματα με λίγες μεταβλητές (τόσο μεταβλητές με ποσοδείκτες όσο και ελεύθερες μεταβλητές) και όχι πολύ μεγάλο βαθμό/μεγάλους βαθμούς στο πολυώνυμο/στα πολυώνυμα που παρουσιάζονται. Επομένως, η αποτελεσματικότητα της μεθόδου είναι ιδιαίτερα εμφανής κυρίως σε προβλήματα που περιέχουν μόνο ένα απλό πολυώνυμο βαθμού περίπου μέχρι το είκοσι και με μία μόνο παράμετρο. Είναι επίσης καταρχήν αποδεκτή η περίπτωση διαστήματος με παράμετρο σαν ένα άκρο του.
Appears in Collections:Γενικό Τμήμα (Τεχνικές Αναφορές)

Files in This Item:
File Description SizeFormat 
TR-2018-Q3.pdf309.28 kBAdobe PDFView/Open


This item is licensed under a Creative Commons License Creative Commons