Please use this identifier to cite or link to this item: http://hdl.handle.net/10889/12153
Title: Interval computations in the formulae for the stress intensity factors at crack tips using the method of quantifier elimination
Other Titles: Υπολογισμοί διαστημάτων στους τύπους για τους συντελεστές εντάσεως τάσεων σε άκρα ρωγμών χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της απαλοιφής ποσοδεικτών
Authors: Ioakimidis, Nikolaos
Keywords: Straight cracks
Slant cracks
Arrays of cracks
Periodic arrays of cracks
Collinear cracks
Stress intensity factors
Exponential loading
Plane isotropic elasticity
Fracture mechanics
Weight functions
Numerical integration
Minimax approximation
Singular integral equations
Symbolic computations
Ranges
Intervals
Interval variables
Interval arithmetic
Interval analysis
Crisp variables
Deterministic variables
Quantifiers
Existential quantifier
Quantified formulae
Quantifier elimination
Quantifier-free formulae
Semi-analytical-numerical computations
Computer algebra systems
Mathematica
Keywords (translated): Ευθύγραμμες ρωγμές
Λοξές ρωγμές
Διατάξεις ρωγμών
Περιοδικές διατάξεις ρωγμών
Συγγραμμικές ρωγμές
Συντελεστές εντάσεως τάσεων
Εκθετική φόρτιση
Επίπεδη ισότροπη ελαστικότητα
Θραυστομηχανική
Συναρτήσεις βάρους
Αριθμητική ολοκλήρωση
Προσέγγιση minimax
Ιδιόμορφες ολοκληρωτικές εξισώσεις
Συμβολικοί υπολογισμοί
Πεδία τιμών
Διαστήματα
Μεταβλητές διαστήματος
Αριθμητική διαστημάτων
Ανάλυση διαστημάτων
Σαφείς μεταβλητές
Προσδιορίσιμες μεταβλητές
Ποσοδείκτες
Υπαρξιακός ποσοδείκτης
Τύποι με ποσοδείκτες
Απαλοιφή ποσοδεικτών
Τύποι χωρίς ποσοδείκτες
Ημιαναλυτικοί-αριθμητικοί υπολογισμοί
Συστήματα υπολογιστικής άλγεβρας
Mathematica
Abstract: The concept of the stress intensity factor at a crack tip is extremely well known and it plays a very important role in fracture mechanics. On the other hand, uncertainty is often present in engineering problems mainly because of measurement errors and it is frequently represented with the help of interval variables. Here we consider the case of formulae for the computation of stress intensity factors at crack tips with one or more than one variable in such a formula being an interval variable. In this case, we compute the related intervals for the stress intensity factors, which, naturally, are also interval variables. This computation is based on the related existentially quantified formulae and it is made with the help of the interesting computational method of quantifier elimination as this method is efficiently implemented in the computer algebra system Mathematica. More explicitly, here the following four classical crack problems are studied: (i) the problem of a straight crack in an infinite plane isotropic elastic medium under a tensile loading at infinity normal to the crack, (ii) the related problem of a slant straight crack with respect to the loading at infinity, (iii) the problem of a crack in a similar medium now under an exponential normal loading on its edges and (iv) the problem of a periodic array of collinear straight cracks again in an infinite plane isotropic elastic medium under a tensile loading at infinity normal to the cracks. In the third and the fourth problems, approximate formulae for the stress intensity factors are used. The present results permit the efficient evaluation of the intervals (the ranges) for the stress intensity factors at crack tips when interval variables instead of crisp (deterministic) variables are present in the related formulae without any overestimation of the intervals for the stress intensity factors. Naturally, the present method is also applicable to more difficult crack problems provided, of course, that the total number of variables in the existentially quantified formulae used for quantifier elimination is small (generally up to five or six variables); otherwise, quantifier elimination may fail to yield a QFF (quantifier-free formula) at least in a reasonable time interval. The present results constitute one more application of quantifier elimination and interval analysis to applied mechanics, here to fracture mechanics.
Abstract (translated): Η έννοια του συντελεστή εντάσεως τάσεων σ' ένα άκρο ρωγμής είναι ιδιαίτερα γνωστή και παίζει πολύ σπουδαίο ρόλο στη θραυστομηχανική. Αφετέρου, η αβεβαιότητα είναι συχνά παρούσα σε προβλήματα του μηχανικού εξαιτίας λαθών στις μετρήσεις και συχνά παρουσιάζεται με τη βοήθεια μεταβλητών διαστήματος. Εδώ θεωρούμε την περίπτωση τύπων για τον υπολογισμό συντελεστών εντάσεως τάσεων στα άκρα ρωγμών με μία ή περισσότερες μεταβλητές σε έναν τέτοιο τύπο να είναι μεταβλητές διαστήματος. Σε αυτήν την περίπτωση υπολογίζουμε τα σχετικά διαστήματα για τους συντελεστές εντάσεως τάσεων, οι οποίοι είναι φυσικά επίσης μεταβλητές διαστήματος. Αυτός ο υπολογισμός βασίζεται στους σχετικούς τύπους με τον υπαρξιακό ποσοδείκτη και πραγματοποιείται με τη βοήθεια της ενδιαφέρουσας υπολογιστικής μεθόδου της απαλοιφής ποσοδεικτών, όπως αυτή η μέθοδος είναι υλοποιημένη αποτελεσματικά στο σύστημα υπολογιστικής άλγεβρας Mathematica. Ειδικότερα, εδώ μελετώνται τα ακόλουθα τέσσερα κλασικά προβλήματα ρωγμών: (i) το πρόβλημα ευθύγραμμης ρωγμής σε άπειρο επίπεδο ισότροπο ελαστικό μέσον υπό εφελκυστική φόρτιση στο άπειρο κάθετα στη ρωγμή, (ii) το σχετικό πρόβλημα λοξής ευθύγραμμης ρωγμής σε σχέση με τη φόρτιση στο άπειρο, (iii) το πρόβλημα ρωγμής σε όμοιο μέσον τώρα υπό εκθετική κάθετη φόρτιση στις πλευρές της και (iv) το πρόβλημα περιοδικής διατάξεως συγγραμμικών ευθύγραμμων ρωγμών και πάλι σε άπειρο επίπεδο ισότροπο ελαστικό μέσον υπό εφελκυστική φόρτιση στο άπειρο κάθετα στις ρωγμές. Στο τρίτο και στο τέταρτο πρόβλημα χρησιμοποιούνται προσεγγιστικοί τύποι για τους συντελεστές εντάσεως τάσεων. Τα παρόντα αποτελέσματα επιτρέπουν τον αποτελεσματικό υπολογισμό των διαστημάτων (των πεδίων τιμών) για τους συντελεστές εντάσεως τάσεων στα άκρα ρωγμών, όταν στους σχετικούς τύπους παρουσιάζονται μεταβλητές διαστήματος αντί για σαφείς (προσδιορίσιμες) μεταβλητές χωρίς καμία υπερεκτίμηση των διαστημάτων για τους συντελεστές εντάσεως τάσεων. Φυσικά, η παρούσα μέθοδος είναι επίσης εφαρμόσιμη και σε πιο δύσκολα προβλήματα ρωγμών, αρκεί βέβαια ο συνολικός αριθμός των μεταβλητών στους τύπους με υπαρξιακούς ποσοδείκτες να είναι μικρός (γενικά μέχρι πέντε ή έξι μεταβλητές). Αλλιώς η απαλοιφή ποσοδεικτών μπορεί να αποτύχει να προσδιορίσει τύπο χωρίς ποσοδείκτες τουλάχιστον μέσα σε λογικό χρονικό διάστημα. Τα παρόντα αποτελέσματα αποτελούν μια ακόμη εφαρμογή της απαλοιφής ποσοδεικτών και της αναλύσεως διαστημάτων στην εφαρμοσμένη μηχανική, εδώ στη θραυστομηχανική.
Appears in Collections:Γενικό Τμήμα (Τεχνικές Αναφορές)

Files in This Item:
File Description SizeFormat 
TR-2019-Q5.pdf146.17 kBAdobe PDFView/Open


This item is licensed under a Creative Commons License Creative Commons