Please use this identifier to cite or link to this item:
Title: Sharp enclosures of the real roots of the classical parametric quadratic equation with one interval coefficient by the method of quantifier elimination
Other Titles: Ακριβή διαστήματα για τις πραγματικές ρίζες της κλασικής παραμετρικής δευτεροβάθμιας εξισώσεως με ένα συντελεστή διαστήματος με τη μέθοδο της απαλοιφής ποσοδεικτών
Authors: Ioakimidis, Nikolaos
Keywords: Quadratic equation
Parametric equations
Real roots
Sharp enclosures
Interval coefficients
Interval parameters
Interval arithmetic
Interval analysis
Interval variables
Crisp variables
Deterministic variables
Quantified formulae
Quantifier elimination
Quantifier-free formulae
Symbolic computations
Computer algebra
Computer algebra systems
Keywords (translated): Δευτεροβάθμια εξίσωση
Παραμετρικές εξισώσεις
Πραγματικές ρίζες
Ακριβή διαστήματα
Πεδία τιμών
Συντελεστές διαστήματος
Παράμετροι διαστήματος
Αριθμητική διαστημάτων
Ανάλυση διαστημάτων
Μεταβλητές διαστήματος
Σαφείς μεταβλητές
Προσδιορίσιμες μεταβλητές
Τύποι με ποσοδείκτες
Απαλοιφή ποσοδεικτών
Τύποι χωρίς ποσοδείκτες
Συμβολικοί υπολογισμοί
Υπολογιστική άλγεβρα
Συστήματα υπολογιστικής άλγεβρας
Abstract: The method of quantifier elimination constitutes an interesting rather recent computational method in computer algebra implemented in few computer algebra systems. Here we apply this method to the determination of sharp enclosures of the two real roots (when there exist such roots) of the classical parametric quadratic equation (in its complete form with three parameters) with one interval coefficient, which is here an interval parameter, whereas the remaining two coefficients are crisp (deterministic) parameters. The powerful computer algebra system Mathematica is used in all the present computations. The classical closed-form formulae for the above two roots are not required in the present quantifier-elimination-based approach: only the original quadratic equation is employed during quantifier elimination. All three cases of parametric coefficients in the quadratic equation are studied in detail and sharp enclosures of its roots are derived in parametric forms. The present results are also verified by using minimization and maximization commands directly on the closed-form formulae for these two roots. Several numerical applications now with numerical (instead of parametric) intervals for the interval coefficient are also made. The present results are seen to be in complete agreement with previous related original results by Elishakoff and Daphnis, who appropriately used classical interval analysis and based their results on the classical closed-form formulae for these roots. Finally, the enclosures of the roots derived by the present approach are always sharp without any possibility of overestimation contrary to what happens in the classical interval-analysis-based approach, where overestimation may be present in some cases.
Abstract (translated): Η μέθοδος της απαλοιφής ποσοδεικτών αποτελεί μια ενδιαφέρουσα μάλλον πρόσφατη υπολογιστική μέθοδο στην υπολογιστική άλγεβρα υλοποιημένη σε λίγα συστήματα υπολογιστικής άλγεβρας. Εδώ εφαρμόζουμε αυτήν τη μέθοδο στον προσδιορισμό ακριβών διαστημάτων για τις δύο πραγματικές ρίζες (όταν υπάρχουν τέτοιες ρίζες) της κλασικής παραμετρικής δευτεροβάθμιας εξισώσεως (στην πλήρη μορφή της με τρεις παραμέτρους) με ένα συντελεστή διαστήματος, που είναι εδώ μια παράμετρος διαστήματος, ενώ οι υπόλοιποι δύο συντελεστές είναι σαφείς (προσδιορίσιμες) παράμετροι. Το ισχυρό σύστημα υπολογιστικής άλγεβρας Mathematica χρησιμοποιείται σε όλους τους παρόντες υπολογισμούς. Οι κλασικοί τύποι κλειστής μορφής για τις πιο πάνω δύο ρίζες δεν χρειάζονται στην παρούσα μέθοδο, που βασίζεται στην απαλοιφή ποσοδεικτών: μόνο η αρχική δευτεροβάθμια εξίσωση χρησιμοποιείται κατά τη διάρκεια της απαλοιφής ποσοδεικτών. Μελετώνται λεπτομερώς και οι τρεις περιπτώσεις παραμετρικών συντελεστών στη δευτεροβάθμια εξίσωση και βρίσκονται ακριβή διαστήματα για τις ρίζες της σε παραμετρικές μορφές. Τα παρόντα αποτελέσματα επαληθεύονται επίσης χρησιμοποιώντας εντολές ελαχιστοποιήσεως και μεγιστοποιήσεως κατευθείαν στους τύπους κλειστής μορφής γι' αυτές τις δύο ρίζες. Γίνονται επίσης αρκετές αριθμητικές εφαρμογές τώρα με αριθμητικά (αντί για παραμετρικά) διαστήματα για το συντελεστή διαστήματος. Διαπιστώνεται ότι τα παρόντα αποτελέσματα βρίσκονται σε πλήρη συμφωνία με προηγούμενα σχετικά πρωτότυπα αποτελέσματα από τους Elishakoff and Daphnis, οι οποίοι χρησιμοποίησαν κατάλληλα την κλασική ανάλυση διαστημάτων και βάσισαν τα αποτελέσματά τους στους κλασικούς τύπους κλειστής μορφής γι' αυτές τις ρίζες. Τελικά, τα διαστήματα για τις ρίζες που βρίσκονται με την παρούσα μέθοδο είναι πάντα ακριβή χωρίς καμία δυνατότητα υπερεκτιμήσεως αντίθετα με ό,τι συμβαίνει στην κλασική μέθοδο, που βασίζεται στην ανάλυση διαστημάτων, όπου μπορεί να παρουσιάζεται υπερεκτίμηση σε μερικές περιπτώσεις.
Appears in Collections:Γενικό Τμήμα (Τεχνικές Αναφορές)

Files in This Item:
File Description SizeFormat 
TR-2019-Q6.pdf363.14 kBAdobe PDFView/Open

This item is licensed under a Creative Commons License Creative Commons