Please use this identifier to cite or link to this item: http://hdl.handle.net/10889/12228
Title: Αναλλοίωτες μετρικές Einstein σε πολλαπλότητες Stiefel και συμπαγείς ομάδες Lie
Other Titles: Invariant Einstein metrics on Stiefel manifolds and compact Lie groups
Authors: Σταθά, Μαρίνα
Keywords: Ομογενείς χώροι
Πολλαπλότητες Stiefel
Συμπαγείς ομάδες Lie
Μετρικές Einstein
Φυσικά αναγωγικές μετρικές Einstein
Keywords (translated): Homogeneous space
Stiefel manifolds
Compact Lie groups
Einstein metrics
Naturally reductive Einstein metrics
Abstract: Μια πολλαπλότητα Riemann (M, g) καλείται πολλαπλότητα Einstein εάν ο τανυστής Ricci \Ric_g ης μετρικής g ικανοποιεί την εξήσωση \Ric_g = \lambda g, για κάπιο \lambda\in\mathbb{R}. Στους ομογενείς χώρους Riemann (M=G/H, g), όπου G είναι μια ομάδα Lie και Η μια κλειστή υποομάδα της, η μετρική g καλείται G-αναλλοίωτη εάν για κάθε \alpha\inG οι αριστερές μεταφορές \tau_{\alpha} : G/H \to G/H, p\mapsto\alphap είναι ισομετρίες και καθορίζεται από \Ad(H)-αναλλοίωτα εσωτερικά γινόμενα στον εφαπτόμενο χώρο T_{o}(G/H). Τα γινόμενα αυτά εξαρτώνται από την ισοτροπική αναπαράσταση του ομογενούς χώρου, η οποία είναι είτε μη αναγώγιμη (όλες οι G-αναλλοίωτες μετρικές είναι Einstein) είτε αναγώγιμη. Η δεύτερη περίπτωση γίνεται πιο πολύπλοκη εάν οι υποαναπαραστάσεις της, είναι μεταξύ τους ισοδύναμες, διότι η πλήρης περιγραφή αλλά και ο χειρισμός τέτοιων γινομένων είναι ερκετά δύσκολος. Σε αυτή την κατηγορία ανήκουν και οι πραγματικές, μιγαδικές και υπερμιγαδικές πολλαπλότητες Stiefel V_k\mathbb{R}^{n} = SO(n)/SO(n-k), V_k\mathbb{C}^{n} = SU(n)/SU(n-k), V_{k}\mathbb{H}^{n} = Sp(n)/Sp(n-k). Στην παρούσα διατριβή μελετάμε μετρικές Einstein στις πραγματικές και υπερμιγαδικές πολλαπλότητες Stiefel G/H, οι οποίες ανήκουν σε ένα υποσύνολο των G-αναλλοίωτων μετρικών. Ειδικότερα η μέθοδος που ακολουθούμε είναι η εξής: Θεωρούμε μια κλειστή υποομάδα K της G με την ιδιότητα H\subset K\subset N_G(H). Τότε η πολλαπλότητα Stiefel G/H είναι ο ολικός χώρος της νηματοποίησης K/H \to G/H \to G/K. Θεωρούμε τις περιπτώσεις όπου η βάση G/K είναι είτε ένας γενικευμένος χώρος Wallach, είτε μια γενικευμένη πολλαπλότητα σημαιών με δύο ισοτροπικούς προσθεταίους. Το δεύτερο αντικείμενο μελέτης της διατριβής, είναι η εύρεση αριστερά αναλλοίωτων μετρικών Einstein, οι οποίες δεν είναι φυσικά αναγωγικές, στις συμπαγείς ομάδες Lie SO(n) και Sp(n). Η βασική ιδέα είναι να θεωρήσουμε τις ομάδες Lie G ως ομογενείς χώρους μέσω της αμφιδιαφόρισης G\cong (G\times K)/Δ(Κ), όπου Κ μια κλειστή υποομάδα της G και να μελετήσουμε τις αριστερά αναλλοίωτες μετρικές στην ομάδα G, οι οποίες καθορίζονται από \Ad(K)-αναλλοίωτα εσωτερικά γινόμενα στον εφαπτόμενο χώρο του ομογενούς χώρου (G\times K)/Δ(Κ). Για αυτά τα αναλλοίωτα εσωτερικά γινόμενα αποδεικνύουμε κατάλληλες συνθήκες για τις παραμέτρους τους, ώστε οι αντίστοιχες αριστερά αναλλοίωτες μετρικές στην G να είναι φυσικά αναγωγικές, σύμφωνα με τη θεωρία των J. D'Atri και W. Ziller. Τέλος εκμεταλλευόμενοι καταλλήλως αυτές τις συνθήκες αποδεικνύουμε την ύπαρξη αριστερά αναλλοίωτων μετρικών Einstein στις ομάδες Lie G=SO(n), Sp(n) οι οποίες δεν είναι φυσικά αναγωγικές.
Abstract (translated): A Riemannian manifold $(M, g)$ is called {\it Einstein} if the Ricci tensor $\Ric_g$ of the metric $g$ satisfies the equation $\Ric _g=\lambda g$, for some real number $\lambda$. For the case of a Riemannian homogeneous space $M=G/H, g)$, where $G$ is a Lie group and $H$ a closed subgroup of $G$, the metric $g$ is called $G$-invariant if for all $\al\in G$ the left translations $\tau_{\al} : G/H \to G/H$, $p\mapsto \al p$ are isometries and is determined by $\Ad(H)$-invariant inner products on the tangent space $T_o(G/H)$. These inner products depend on the isotropy representation of the homogeneous space, which can be either irreducible (in this case $G$-invariant metrics are Einstein) or reducible. The second case becomes more complicated if the isotropy representation contains some equivalent subrepresentations. In this case a complete description of such $\Ad(H)$-invariant inner products is quite complicated. Real, complex and quaternionic Stiefel manifols $V_k\bb{R}^n=\SO(n)/\SO(n-k)$, $V_{k}\bb{C}^n$ and $V_k\bb{H}^n=\Sp(n)/\Sp(n-k)$ belong in this class of homogeneous spaces. Let $\mathbb{K}=\bb{R}$, $\bb{C}$ or $\bb{H}$. A Stiefel manifold $G/H=V_k\mathbb{K}^n$ is the set of all $k$-frames in $\mathbb{K}^n$. In the present thesis we study invariant Einstein metrics on these manifolds for $\mathbb{K}=\bb{R}$ and $\bb{H}$, which belong in a subset of all $G$-invariant metrics. The method we use is the following: We consider a closed subgroup $K$ of $G$ such that $H\subset K\subset N_G(H)$. Then the Stiefel manifold $G/H$ is the total space of the fibration $K/H\to G/H\to G/K$. We consider the cases where the base $G/K$ is either a generalized Wallach space, or a generalized flag manifold with two isotropy summands. In both cases, the $G$-invariant Einstein metrics that we obtain, are determined by $\Ad(K)$-invariant inner products on the tangent space $\fr{m}$ of $G/H$, which is written as a direct sum of $\fr{a}=T_o(K/H)$ and $\fr{p}=T_o(G/K)$, the vertical and horizontal subspaces respectively, i.e. $\fr{m}=\fr{a}\oplus\fr{p}$. The second object of the present thesis is the search of left-invariant Einstein metrics, which are not naturally reductive, on the compact Lie groups $\SO(n)$ and $\Sp(n)$. The idea is to consider these Lie groups $G$ as homogeneous spaces under the diffeomorphism $G\cong (G\times K)/\Delta (K)$, where $K$ is a closed subgroup of $G$ and then study those left-invariant metrics on $G$, which are determined by $\Ad(K)$-invariant inner products on the tangent space $\mathcal{M}$ of this homogeneous space. For those inner products we prove certain conditions for their parameters, so that corresponding left-invariant metrics are naturally reductive, according to theory of J. D'Atri and W. Ziller. By taking into account these conditions, we then prove existence of left-invariant Einstein metrics on the Lie groups $G=\SO(n)$, $\Sp(n)$, which are not naturally reductive.
Appears in Collections:Τμήμα Μαθηματικών (ΔΔ)

Files in This Item:
File Description SizeFormat 
Ph.D_Statha.pdf2.44 MBAdobe PDFView/Open


This item is licensed under a Creative Commons License Creative Commons