Please use this identifier to cite or link to this item: http://hdl.handle.net/10889/13204
Title: Interval computations in various direct and inverse applied mechanics problems related to quantifiers by using the method of quantifier elimination
Other Titles: Υπολογισμοί διαστημάτων σε διάφορα ευθέα και αντίστροφα προβλήματα της εφαρμοσμένης μηχανικής σχετιζόμενα με ποσοδείκτες χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της απαλοιφής ποσοδεικτών
Authors: Ioakimidis, Nikolaos
Keywords: Intervals
Interval analysis
Interval variables/parameters
Range
Uncertainty
Uncertain variables/parameters
Beams
Beams on elastic foundation
Winkler foundation
Deflection
Vibration problems
Damped harmonic oscillator
Critical damping
Quantifiers
Universal quantifier
Existential quantifier
Quantified formulae
Quantified/free variables
Quantifier elimination
Quantifier-free formulae
Systems
Input
Output
Control problem
Tolerance problem
Direct problems
Inverse problems
Symbolic computations
Mathematica
Keywords (translated): Διαστήματα
Ανάλυση διαστημάτων
Μεταβλητές/παράμετροι διαστήματος
Πεδίο τιμών
Αβεβαιότητα
Αβέβαιες μεταβλητές/παράμετροι
Δοκοί
Δοκοί σε ελαστική βάση
Θεμελίωση Winkler
Βέλος κάμψεως
Προβλήματα ταλαντώσεων
Αρµονικός ταλαντωτής µε απόσβεση
Κρίσιμη απόσβεση
Ποσοδείκτες
Καθολικός ποσοδείκτης
Υπαρξιακός ποσοδείκτης
Τύποι με ποσοδείκτες
Μεταβλητές με ποσοδείκτες/ελεύθερες μεταβλητές
Απαλοιφή ποσοδεικτών
Τύποι χωρίς ποσοδείκτες
Συστήματα
Είσοδος
Έξοδος
Πρόβλημα ελέγχου
Πρόβλημα ανοχής
Ευθέα προβλήματα
Αντίστροφα προβλήματα
Συμβολικοί υπολογισμοί
Mathematica
Abstract: Quantifier elimination offers an interesting computational tool in many research areas including applied mechanics long ago. For example, quantifier elimination was recently applied to the computation of ranges of functions in problems of applied mechanics. Here we modify this approach by using the existential quantifier instead of the universal quantifier in the quantified formulae. This approach permits the reduction (by two) of the number of free variables. Yet, what is more important is that here we also extend this method based on quantifier elimination from the purely existential case to the mixed universal–existential case. The latter case is related to the classical interval tolerance and control problems so popular in interval analysis. Among the few implementations of quantifier elimination (in classical real analysis) in computer algebra systems again we selected the computer algebra system Mathematica for use in the present computations because it seems to offer the most efficient and user-friendly related implementation. Three applied mechanics problems are studied in detail: (i) a classical beam problem (beam fixed–simply-supported at its ends) under a uniform loading, (ii) a problem of a beam on a Winkler elastic foundation and (iii) the problem of free vibrations of the classical damped harmonic oscillator under critical damping. In these three problems, several quantified formulae were considered (of course, under appropriate assumptions) and the related QFFs (quantifier-free formulae) were easily derived. Moreover, the cases of (i) three interval variables and no parameter in the QFF, (ii) two interval variables and one parameter in the QFF and (iii) one interval variable and two parameters in the QFF were studied.
Abstract (translated): Η απαλοιφή ποσοδεικτών προσφέρει ένα ενδιαφέρον υπολογιστικό εργαλείο σε πολλές ερευνητικές περιοχές, που περιλαμβάνουν την εφαρμοσμένη μηχανική, εδώ και πολύ καιρό. Για παράδειγμα, η απαλοιφή ποσοδεικτών εφαρμόσθηκε πρόσφατα στον υπολογισμό πεδίων τιμών συναρτήσεων σε προβλήματα της εφαρμοσμένης μηχανικής. Εδώ τροποποιούμε αυτήν τη μέθοδο χρησιμοποιώντας τον υπαρξιακό ποσοδείκτη αντί για τον καθολικό ποσοδείκτη στους τύπους με ποσοδείκτες. Αυτή η μέθοδος επιτρέπει τη μείωση (κατά δύο) του αριθμού των ελεύθερων μεταβλητών. Εντούτοις, αυτό που είναι πιο σημαντικό είναι ότι εδώ επεκτείνουμε επίσης αυτήν τη μέθοδο, που βασίζεται στην απαλοιφή ποσοδεικτών, από την καθαρά υπαρξιακή περίπτωση στη μικτή καθολική–υπαρξιακή περίπτωση. Η τελευταία περίπτωση σχετίζεται με τα κλασικά προβλήματα ανοχής και ελέγχου διαστήματος που είναι τόσο δημοφιλή στην ανάλυση διαστημάτων. Μεταξύ των λίγων υλοποιήσεων της απαλοιφής ποσοδεικτών (στην κλασική πραγματική ανάλυση) σε συστήματα υπολογιστικής άλγεβρας και πάλι επιλέξαμε το σύστημα υπολογιστικής άλγεβρας Mathematica για χρήση στους παρόντες υπολογισμούς, επειδή αυτό φαίνεται να προσφέρει την πιο αποτελεσματική και φιλική στο χρήστη υλοποίηση. Εξετάζονται λεπτομερώς τρία προβλήματα της εφαρμοσμένης μηχανικής: (i) ένα κλασικό πρόβλημα δοκού (δοκός πακτωμένη–με απλή στήριξη στα άκρα της) υπό ομοιόμορφη φόρτιση, (ii) ένα πρόβλημα δοκού σε ελαστική θεμελίωση Winkler και (iii) το πρόβλημα των ελεύθερων ταλαντώσεων του κλασικού αρμονικού ταλαντωτή με απόσβεση υπό κρίσιμη απόσβεση. Σε αυτά τα τρία προβλήματα εξετάστηκαν αρκετοί τύποι με ποσοδείκτες (φυσικά υπό κατάλληλες υποθέσεις) και βρέθηκαν εύκολα οι σχετικοί τύποι χωρίς ποσοδείκτες. Επιπλέον μελετήθηκαν οι περιπτώσεις (i) τριών μεταβλητών διαστήματος και καμίας παραμέτρου στον τύπο χωρίς ποσοδείκτες, (ii) δύο μεταβλητών διαστήματος και μιας παραμέτρου στον τύπο χωρίς ποσοδείκτες και (iii) μιας μεταβλητής διαστήματος και δύο παραμέτρων στον τύπο χωρίς ποσοδείκτες.
Appears in Collections:Γενικό Τμήμα (Τεχνικές Αναφορές)

Files in This Item:
File Description SizeFormat 
TR-2019-Q9.pdf238.04 kBAdobe PDFView/Open


This item is licensed under a Creative Commons License Creative Commons