Please use this identifier to cite or link to this item: http://hdl.handle.net/10889/13894
Title: Πολυεδρικός έλεγχος μη γραμμικών συστημάτων
Other Titles: Polyhedral control of nonlinear systems
Authors: Γαρμπής, Σπυρίδων
Keywords: Μη γραμμικά συστήματα
Πολυεδρικός έλεγχος
Συστήματα σύγκρισης
Έλεγχος με περιορισμούς
Θετική αμεταβλητότητα
Γραμμικός προγραμματισμός
Ανάλυση σθεναρότητας
Πολλαπλασιαστικός θόρυβος
Συστήματα με αβεβαιότητα
Απόλυτη ευστάθεια
Χαοτικά συστήματα
Keywords (translated): Nonlinear systems
Polyhedral control
Comparison systems
Constrained control
Positive invariance
Linear programming
Robustness analysis
Multiplicative noise
Uncertain systems
Absolute stability
Chaotic systems
Abstract: Στην παρούσα Διπλωματική εργασία μελετήθηκε o έλεγχος μιας ειδικής κατηγορίας μη γραμμικών συστημάτων, τα συστήματα τύπου Lur’e στο συνεχή και στον διακριτό χρόνο και βασίστηκε στην χρήση πολυεδρικών συνόλων και πολυεδρικών συναρτήσεων Lyapunov. Η ανάλυση και ο σχεδιασμός του ελέγχου έγινε με την χρήση πολυεδρικών συστημάτων σύγκρισης. Τα συστήματα αυτά είναι βασισμένα σε διαφορικές ανισώσεις και ανισώσεις διαφορών και χρησιμοποιούνται ώστε ανάγοντας το αρχικό σύστημα σε ένα σύστημα σύγκρισης και αναλύοντας το να διεξαχθούν συμπεράσματα για το αρχικό. Πιο συγκεκριμένα, αφού έγινε σύντομη αναφορά στις έννοιες της θετικής αμεταβλητότητας, της συστολικότητας, των διαφόρων ειδών ευστάθειας και σθεναρής ευστάθειας, του γενικευμένου λήμματος του Farkas και του γραμμικού και μη γραμμικού προγραμματισμού, προχωρήσαμε στην ανάλυση συστημάτων μέσω πολυεδρικών συστημάτων σύγκρισης. Σε αυτό το μέρος της εργασίας, παρουσιάσαμε τα θεωρήματα που μας εξασφαλίζουν την θετική αμεταβλητότητα και την συστολικότητα συνόλων των μη γραμμικών συστημάτων και τα εφαρμόσαμε στα συστήματα τύπου Lur’e, παρουσιάζοντας και επεξηγώντας τα αποτελέσματα. Επιπλέον, δείξαμε τον τρόπο που οδηγούμαστε στην ευστάθεια των συστημάτων αυτών, μέσω πολυεδρικών συστημάτων σύγκρισης και στην σύνθεση πολυεδρικών συναρτήσεων Lyapunov οι οποίες συγκλίνουν εκθετικά. Στο τελευταίο και πιο βασικό κομμάτι της εργασίας, γίνεται έλεγχος γραμμικής ανατροφοδότησης κατάστασης σε δύο περιπτώσεις προβλημάτων, που μπορούν να μοντελοποιηθούν από το σύστημα τύπου Lur’e. Η πρώτη περίπτωση, είναι συστήματα με πολλαπλασιαστικό θόρυβο στο διάνυσμα ελέγχου όπου: στην μία υποπερίπτωση, έγινε ανάλυση σθεναρότητας του εύρους θορύβου σε ένα ήδη σχεδιασμένο νόμο ελέγχου για ένα γραμμικό σύστημα με περιορισμούς, ενώ στη δεύτερη υποπερίπτωση, έγινε σχεδιασμός βέλτιστου νόμου ελέγχου σε γραμμικό σύστημα με περιορισμούς και πολλαπλασιαστικό θόρυβο. Η δεύτερη περίπτωση, είναι συστήματα με αβεβαιότητα στο μοντέλο τους ή στις παραμέτρους τους όπου: στην μία υποπερίπτωση, έγινε ανάλυση σθεναρότητας του εύρους της αβεβαιότητας έχοντας ένα γραμμικό σύστημα με περιορισμούς και ήδη σχεδιασμένο νόμο ελέγχου, ενώ στη δεύτερη υποπερίπτωση, έγινε σχεδιασμός βέλτιστου νόμου ελέγχου σε γραμμικό σύστημα με περιορισμούς και αβεβαιότητα. Τέλος, γίνεται εφαρμογή των παραπάνω θεωρημάτων και παρατηρήσεων στο πραγματικό χαοτικό σύστημα Chua circuit, όπου βρίσκουμε νόμο ελέγχου που κάνει ευσταθή μία περιοχή του χώρου κατάστασης του συστήματος. Αυτό το πετυχαίνουμε χρησιμοποιώντας την θεωρία εύρεσης θετικώς αμετάβλητων συνόλων για γραμμικά συστήματα και στην συνέχεια κάνουμε ανάλυση σθεναρότητας για το συγκεκριμένο εύρος που βρίσκεται η μη γραμμική συνιστώσα του μοντέλου του Chua circuit και καταλήγουμε στην εύρεση πολλαπλών ομοιόθετων τέτοιων περιοχών.
Abstract (translated): In this diploma thesis, the control of a special category of nonlinear systems, the Lur’e type systems, was studied in continuous and discrete time and it was based on the use of polyhedral sets and polyhedral Lyapunov functions. The analysis and the design of the control system was made using polyhedral comparison systems. These systems are based on differential inequalities and difference inequalities and are used to reduce the original system to a comparison system and through analyzing it to draw conclusions about the original system. More specifically, after a brief reference to the concepts of positive invariance, contractivity, stability and robustness, extended Farkas’ lemma and linear and nonlinear programming, we proceeded to the analysis of systems through polyhedral comparison systems. In this part of the paper we presented the theorems that ensure the positive invariance and contractivity of sets of the nonlinear systems and applied them to Lur’e systems, while presenting and explaining the results. In addition, we show how we lead to the stability of these systems through polyhedral comparison systems and to the synthesis of Lyapunov polyhedral functions which converge exponentially fast. In the last part of the work, which is the most important, linear state feedback control is used for two cases of problems that can be modeled by the Lur’e type system. The first case is systems with multiplicative noise in their control vector where, in one sub-case, a robustness analysis of the noise range was performed on an already designed control law for a linear system with constraints, while in the second sub-case an optimal control law was designed for a linear system with constraints and multiplicative noise. The second case is systems with uncertainty in their model or parameters where, in one sub-case, a robustness analysis of the range of the uncertainty was performed having a linear system with constraints and an already designed control law, while in the second sub-case an optimal control law was designed for a linear system with constraints and uncertainty. Finally, the above theorems and observations are applied to the real chaotic Chua circuit system for which we find a control law that makes a region of the system’s state space stable. This is achieved by using the theory of finding positive invariant sets for linear systems and then applying robustness analysis for the specific range where the non-linear component of the Chua’s circuit model is located. So, we end up finding that any region which is occurred by uniformly increasing or decreasing the initial region is also a stable region for the system.
Appears in Collections:Τμήμα Ηλεκτρολ. Μηχαν. και Τεχνολ. Υπολογ. (ΔΕ)

Files in This Item:
File Description SizeFormat 
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ_ΓΑΡΜΠΗΣ_ΣΠΥΡΙΔΩΝ_1046829_6_10_20.pdf3.03 MBAdobe PDFView/Open


Items in DSpace are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.