Please use this identifier to cite or link to this item: http://hdl.handle.net/10889/2475
Title: Στατιστικές συναρτήσεις σάρωσης και αξιοπιστία συστημάτων
Other Titles: Scan statistics and systems' reliability
Authors: Πήττα, Θεοδώρα
Issue Date: 2009-12-22T10:13:45Z
Keywords: Συναρτήσεις σάρωσης
Αξιοπιστία
Keywords (translated): Scan statistics
Reliability
Abstract: Σκοπός της εργασίας είναι η σύνδεση της στατιστικής συνάρτησης σάρωσης S_(n,m), που εκφράζει τον μέγιστο αριθμό των επιτυχιών που περιέχονται σε ένα κινούμενο παράθυρο μήκους m το οποίο “σαρώνει” n - συνεχόμενες προσπάθειες Bernoulli, με την αξιοπιστία ενός συνεχόμενου k-μεταξύ-m-από-τα-n συστήματος αποτυχίας (k-μεταξύ-m-από-τα-n:F σύστημα). Αρχικά υπολογίζουμε τη συνάρτηση κατανομής και τη συνάρτηση πιθανότητας της στατιστικής συνάρτησης σάρωσης S_(n,m). Αυτό το επιτυγχάνουμε συνδέοντας την S_(n,m) με την τυχαία μεταβλητή T_k^((m))που εκφράζει τον χρόνο αναμονής μέχρι να συμβεί μια γενικευμένη ροή ή αλλιώς μέχρι να συμβεί η “πρώτη σάρωση” σε μια ακολουθία τυχαίων μεταβλητών Bernoulli οι οποίες παίρνουν τιμές 0 ή 1 ανάλογα με το αν έχουμε αποτυχία ή επιτυχία, αντίστοιχα. Υπολογίζουμε τη συνάρτηση κατανομής και τη συνάρτηση πιθανότητας της T_k^((m)) είτε με τη μέθοδο της εμβάπτισης σε Μαρκοβιανή αλυσίδα είτε μέσω αναδρομικών τύπων και παίρνουμε τις αντίστοιχες συναρτήσεις για την τυχαία μεταβλητή S_(n,m) [Glaz and Balakrishnan (1999), Balakrishnan and Koutras (2001)]. Στη συνέχεια ασχολούμαστε με την αξιοπιστία του συνεχόμενου k-μεταξύ-m-από-τα-n:F συστήματος (Griffith, 1986). Ένα τέτοιο σύστημα αποτυγχάνει αν ανάμεσα σε m συνεχόμενες συνιστώσες υπάρχουν τουλάχιστον k που αποτυγχάνουν (1≤k≤m≤n). Παρουσιάζουμε ακριβείς τύπους για την αξιοπιστία για k=2 καθώς και για m=n,n-1,n-2,n-3 (Sfakianakis, Kounias and Hillaris, 1992) και δίνουμε έναν αναδρομικό αλγόριθμο για τον υπολογισμό της (Malinowski and Preuss, 1994). Χρησιμοποιώντας μια δυϊκή σχέση ανάμεσα στη συνάρτηση κατανομής της T_k^((m)) και κατ’ επέκταση της S_(n,m) με την αξιοπιστία, συνδέουμε την αξιοπιστία αυτού του συστήματος με τη στατιστική συνάρτηση σάρωσης S_(n,m). Τέλος σκιαγραφούμε κάποιες εφαρμογές των στατιστικών συναρτήσεων σάρωσης στην μοριακή βιολογία [Karlin and Ghandour (1985), Glaz and Naus (1991), κ.ά.], στον ποιοτικό έλεγχο [Roberts,1958] κ.τ.λ..
Abstract (translated): The aim of this dissertation is to combine the scan statistic S_(n,m), which represents the maximum number of successes contained in a moving window of length m over n consecutive Bernoulli trials, with the reliability of a consecutive k-within-m-out-of-n failure system (k-within-m-out-of-n:F system). First, we evaluate the probability mass function and the cumulative distribution function of the random variable S_(n,m). We obtain that by combining S_(n,m) with the random variable T_k^((m)) which denotes the waiting time until for the first time k successes are contained in a moving window of length m (scan of type k/m) over a sequence of Bernoulli trials with 1 marked as a success and 0 as a failure. The probability mass function and the cumulative distribution function of T_k^((m)) are evaluated using two methods: i. Markov chain embedding method and ii. recursive schemes. Finally, through T_k^((m)) we evaluate the probability mass function and the cumulative distribution function of S_(n,m) [Glaz and Balakrishnan (1999), Balakrishnan and Koutras (2002)]. Next, we evaluate the reliability, R, of the consecutive k-within-m-out-of-n failure system (Griffith, 1986). Such a system fails if and only if there exist m consecutive components which include among them at least k failed ones (1≤k≤m≤n). Exact formulae for the reliability are presented for k=2 as well as for m=n,n-1,n-2,n-3 (Sfakianakis, Kounias and Hillaris, 1992). A recursive algorithm for the reliability evaluation is also given (Malinowski and Preuss, 1994). Using a dual relation between the cumulative distribution function of T_k^((m)) and therefore of S_(n,m) and the reliability R, we manage to combine the reliability of this system with the scan statistic S_(n,m). Finally, we briefly present some other applications of the scan statistics in molecular biology [Karlin and Ghandour (1985), Glaz and Naus (1991), e.t.c.], quality control [Roberts,1958] and other more.
Appears in Collections:Τμήμα Μαθηματικών (ΜΔΕ)

Files in This Item:
File Description SizeFormat 
Nimertis_Pitta(m).pdf1.98 MBAdobe PDFView/Open


Items in DSpace are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.