Please use this identifier to cite or link to this item:
Title: Μέθοδοι μιγαδικής ανάλυσης στην επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων
Authors: Μπρανίκας, Παναγιώτης-Χρήστος
Keywords: Γραμμικές εξισώσεις εξέλιξης
Εξίσωση KdV
Μετασχηματισμός Fourier
Συνάρτηση Green
Συνάρτηση Riemann
Πρόβλημα Riemann-Hilbert
Ιδιόμορφες ολοκληρωτικές εξισώσεις
Ελλειπτικές μερικές διαφορικές εξισώσεις
Keywords (translated): Linear evolution equations
KdV equation
Fourier transform
Green function
Riemann function
Riemann-Hilbert problem
Singular integral equations
Elliptic partial differential equations
Abstract: H παρούσα διπλωματική εργασία, με τίτλο "Μέθοδοι της Μιγαδικής Ανάλυσης στην Επίλυση Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων", είναι αφιερωμένη στη μελέτη προβλημάτων αρχικών και συνοριακών τιμών για γραμμικές και ολοκληρώσιμες μη-γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις, με τη χρήση βασικών εννοιών και θεωρημάτων της θεωρίας των μιγαδικών συναρτήσεων. Ειδικότερα, στο κύριο μέρος της εργασίας, μελετάμε την εξίσωση της διάχυσης, την κυματική εξίσωση, την εξίσωση Laplace, την εξίσωση Helmholtz και την εξίσωση Κorteweg-de Vries (KdV). Το πρώτο κεφάλαιο αποτελεί μια σύντομη επισκόπηση των καθιερωμένων μεθόδων επίλυσης προβλημάτων αρχικών-συνοριακών τιμών που αφορούν τις πιο γνωστές γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις της μαθηματικής φυσικής. Αναλυτικότερα, χρησιμοποιούμε τον μετασχηματισμό Fourier για να λύσουμε το πρόβλημα αρχικών τιμών για εξισώσεις εξέλιξης, αντιπροσωπευτικά παραδείγματα των οποίων είναι η εξίσωση της διάχυσης και η κυματική εξίσωση. Στη συνέχεια, ορίζουμε το πρόβλημα Dirichlet για την εξίσωση Laplace και κατασκευάζουμε τη συνάρτηση Green, μέσω της οποίας λύνουμε το παραπάνω πρόβλημα συνοριακών τιμών. Τέλος, δείχνουμε τον τρόπο με τον οποίο η μέθοδος Riemann οδηγεί στην επίλυση προβλημάτων αρχικών τιμών για μερικές διαφορικές εξισώσεις υπερβολικού τύπου στο επίπεδο. Το δεύτερο κεφάλαιο αφιερώνεται στο πρόβλημα Riemann-Hilbert, το οποίο ζητά τον προσδιορισμό μιας αναλυτικής μιγαδικής συνάρτησης μιας μιγαδικής μεταβλητής που παρουσιάζει προκαθορισμένο άλμα κατά μήκος δοσμένης καμπύλης του μιγαδικού επίπεδου. Μελετάμε το βαθμωτό πρόβλημα Riemann-Hilbert για απλά και πολλαπλά συνεκτικά χωρία, καθώς επίσης και το πρόβλημα Riemann-Hilbert στην πραγματική ευθεία. Κλείνουμε με τη μελέτη του ομογενούς διανυσματικού προβλήματος Riemann-Hilbert για κλειστές καμπύλες. Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζουμε εφαρμογές του προβλήματος Riemann-Hilbert. Πιο συγκεκριμένα, συνδέουμε το πρόβλημα Riemann-Hilbert με τις ιδιόμορφες ολοκληρωτικές εξισώσεις με πυρήνα τύπου Cauchy, με το πρόβλημα Dirichlet για την εξίσωση Laplace στο εσωτερικό του μοναδιαίου κύκλου και του πάνω ημιεπίπεδου, καθώς και με το πρόβλημα αρχικών τιμών για την εξίσωση της διάχυσης. Το κεφάλαιο ολοκληρώνεται δείχνοντας συνοπτικά τη σύνδεση του διανυσματικού προβλήματος Riemann-Hilbert με τη μέθοδο της αντίστροφης σκέδασης στην επίλυση της εξίσωσης KdV. Στο τέταρτο και τελευταίο κεφάλαιο της εργασίας μελετάμε μερικές διαφορικές εξισώσεις ελλειπτικού τύπου στο επίπεδο. Ορίζοντας τους τελεστές bar και d-bar, μετασχηματίζουμε τις εξισώσεις αυτού του τύπου σε μερικές διαφορικές εξισώσεις για συναρτήσεις δύο μιγαδικών μεταβλητών και, εφαρμόζοντας τη μέθοδο Riemann, κατασκευάζουμε αναπαραστάσεις των λύσεών τους. Χρησιμοποιώντας αυτές τις αναπαραστάσεις, δείχνουμε τη σύνδεση των ιδιόμορφων ολοκληρωτικών εξισώσεων με πυρήνα τύπου Cauchy με το πρόβλημα Dirichlet για μερικές διαφορικές εξισώσεις ελλειπτικού τύπου σε απλά συνεκτικές περιοχές.
Abstract (translated): The present diploma thesis, entitled "Methods of Complex Analysis in Solving Partial Differential Equations", is devoted to the study of initial and boundary value problems for linear and integrable non-linear partial differential equations, by using basic concepts and theorems of the theory of complex functions. More specifically, in the main part of this thesis we study the heat equation, the wave equation, the Laplace equation, the Helmholtz equation and the KdV equation. The first chapter is a brief survey of the usual methods of solving initial and boundary value problems regarding the best known linear partial differential equations of mathematical physics. To be more precise, we use the Fourier transform in order to solve initial value problems for equations describing processes of evolution, such as the heat equation and the wave equation. We then define the Drichlet problem for the Laplace equation and construct the Green function through which we solve the boundary value problem mentioned above. Finally, we show the way in which the Riemann method leads to the solution of initial value problems for hyperbolic partial differential equations in the plane. The second chapter is devoted to the Riemann-Hilbert problem, which amounts to the construction of a complex analytic function of one variable, which has a given jump discontinuity along of a given contour of the complex plane. We study the scalar Riemann-Hilbert problem for simply and multiply connected domains, as well as the Riemann-Hilbert problem for a jump discontinuity along the real axis. The chapter concludes with a discussion of the homogenous matrix Riemann-Hilbert problem for closed contours. In the third chapter, we present various applications of the Riemann-Hilbert problem. More precisely, we connect the Riemann-Hilbert problem with singular integral equations with Cauchy type kernel, the Dirichlet problem for the Laplace equation in the interior of the unit circle and the upper half plane, and with the initial value problem for the heat equation. This chapter is completed by briefly showing the connection between the matrix Riemann-Hilbert problem and the inverse scattering method in the solution of the KdV equation. In the fourth and final chapter of this thesis, we study elliptic partial differential equations in the plane. By defining the bar and d-bar operators, we transform this kind of equations to hyperbolic type equations for functions of two complex variables. Representations of solutions of the latter are constructed, by applying the Riemann method. Using these representations, we reveal the connection between the singular integral equations with Cauchy type kernel and elliptic partial differential equations in simple-connected domains.
Appears in Collections:Τμήμα Μαθηματικών (ΜΔΕ)

Files in This Item:
File Description SizeFormat 
Methods of Complex Analysis in Solving Partial Differential Equations.pdf1.08 MBAdobe PDFView/Open

Items in DSpace are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.