Please use this identifier to cite or link to this item:
Title: Εισαγωγή στη θεωρία υπερκυκλικών τελεστών
Other Titles: An introduction to the theory of hypercyclic operators
Authors: Σουρμελίδης, Αθανάσιος
Keywords: Υπερκυκλικοί τελεστές
Γραμμικό χάος
Keywords (translated): Hypercyclic operators
Linear chaos
Abstract: Είναι ευρέως διαδεδομένο ότι η έννοια του χάους συνδέεται με τη μη γραμμικότητα. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι διαισθητικά περιμένουμε από μία γραμμική απεικόνιση να παρουσιάζει μία ̔ ̔ προβλέψιμη ̓ ̓ συμπεριφορά. Κάτι το οποίο όμως δεν αληθεύει. Πρώτος ο G.D. Birkhoff (1929) βρήκε ένα παράδειγμα ενός τελεστή με ένα σημαντικό στοιχείο του χάους: ο τελεστής είχε πυκνή τροχιά. Στη συνέχεια ακολούθησαν οι G.R. Maclane (1952) και S. Rolewisz (1969), οι οποιοί βρήκαν επιπλέον παραδείγματα τελεστών με πυκνή τροχιά. Παρακινούμενοι από αυτά τα παραδείγματα, πολλοί ερευνητές άρχισαν να μελετούν την έννοια του χάους υπό το πρίσμα της γραμμικότητας, ονομάζοντας τους τελεστές με πυκνή τροχιά υπερκυκλικούς. Το καθοριστικό βήμα έγινε από τους G. Godefroy και J.H. Shapiro (1991), οι οποίοι όχι μόνο ανακάλυψαν καινούργιες κλάσεις υπερκυκλικών τελεστών, αλλά πρότειναν επίσης να γίνει αποδεκτός ο ορισμός του (μη γραμμικου) χάους, που είχε δοθει από τον Devaney, ως ο ορισμός του γραμμικού χάους: ́Ενας τελεστής είναι χαοτικός αν: 1) έχει πυκνή τροχιά, 2) έχει ευαίσθητη εξάρτηση στις αρχικές συνθήκες, 3) το σύνολο των περιοδικών του σημείων είναι πυκνό. Σκοπός αυτής της εργασίας, η οποία βασίζεται στο βιβλίο Linear Chaos των Karl-G. Grosse- Erdmann και A.Peris Manguillot, είναι να γίνει μία εισαγωγή στη θεωρία των υπερκυκλικών τελεστών και ταυτόχρονα να παρουσιαστούν ορισμένα από τα πιο θεμελιώδη θεωρήματα της θεωρίας αυτής. Στο 1ο κεφάλαιο γίνεται μία εισαγωγή στη θεωρία των δυναμικών συστημάτων (όχι απαραίτητα γραμμικών) και παρουσιάζονται ορισμένα αποτελέσματα με βασικότερο αυτών, το θεώρημα του Birkhoff που δίνει μία συνθήκη ώστε μία απεικόνιση να έχει πυκνή τροχιά. Στο 2ο κεφάλαιο γίνεται η κατασκευή των χώρων Fr ́echet, που είναι μία γενίκευση των χώρων Banach και στη συνέχεια μεταφέρουμε τα αποτελέσματα του 1ου κεφαλαίου πάνω σε γραμμικά δυναμικά συστήματα. Στο 3ο κεφάλαιο παρουσιάζονται ορισμένα κριτήρια που αν ικανοποιεί ένας τελεστής, θα είναι υπερκυκλικός ή ακόμα και χαοτικός, με τελικό το κριτήριο Υπερκυκλικότητας. Στο 4ο κεφάλαιο παρουσιάζονται δύο από τα σπουδαιότερα θεωρήματα της θεωρίας των υπερκυκλικών τελεστών: 1)το θεώρημα της Ansari, 2)το θεώρημα των Bourdon-Feldmann. Στο 5ο κεφάλαιο παρουσιάζεται μία από τις πιο πρόσφατες έννοιες στη θεωρία των υπερκυκλικών τελεστών και που έχει γεννηθεί από την εργοδική θεωρία: αυτή της συχνής υπερκυκλικότητας. Τέλος, στο 6ο κεφάλαιο μελετάται η ύπαρξη κοινών υπερκυκλικών διανυσμάτων μίας υπερα- ριθμήσιμης οικογένειας τελεστών.
Abstract (translated): It is widespread that the concept of chaos is connected with the nonlinearity. This is because we intuitively expect from a linear map to dispaly a ''predictable'' behavior. Something which, however, is not true. First the G.D. Birkhoff (1929) found an example of an operator with a significant element of chaos: the operator had dense orbit. Then followed the G.R. Maclane (1952) and S. Rolewisz (1969), who found additional examples of operators with dense orbit. Motivated by these examples, many researchers began to study the concept of chaos in the light of linearity, naming the operators with dense orbit, hypercyclic. The decisive step was made by G. Godefroy and J.H. Shapiro (1991), who not only discovered new classes of hypercyclic operators, but also suggested to accept the definition of (nonlinear) chaos, which was given by Devaney, as the definition of the linear chaos:  An operator is chaotic if: 1) it has dense orbit, 2) it has a sensitive dependence on initial conditions, 3) the set of periodic points is dense. The purpose of this master's thesis, which is based on the book Linear Chaos of Karl-G. Grosse- Erdmann and A.Peris Manguillot, is to make an introduction to the theory of hypercyclic operators and simultaneously to present some of the most fundamental theorems of this theory. The first chapter introduces the reader to the basic concepts of the theory of dynamical systems (not necessarily linear) and present some results of this theory. One of these is Birkhoff's theorem which gives a condition for a map to have a dense orbit. In the second chapter we construct the Frechet spaces, which are a generalization of Banach spaces and then transfer the results of the first chapter on linear dynamic systems. The third chapter presents certain criteria which if an operator satisfies, it will be hypercyclic or even chaotic. In the 4th chapter are presented two of the most important theorems of the theory of hypercyclic operators : 1) the theorem of Ansari, 2) the theorem of Bourdon-Feldmann. In the fifth chapter presents one of the latest concepts in the theory of hypercyclic operators and which is born from the ergodic theory: the frequently hypercyclic operators. Finally, in chapter 6 we study the existence of common vectors hypercyclic vectors of an infinite family of operators.
Appears in Collections:Τμήμα Μαθηματικών (ΜΔΕ)

Files in This Item:
File Description SizeFormat 
διπλωματική εργασία.pdfΕργασία736.82 kBAdobe PDFView/Open

Items in DSpace are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.