Please use this identifier to cite or link to this item: http://hdl.handle.net/10889/9190
Title: Ροή βιομαγνητικού ρευστού σε ανεύρυσμα
Other Titles: Βiomagnetic fluid flow in an aneurism
Authors: Ηλιοπούλου, Μαρίνα
Keywords: Βιομαγνητικά ρευστά
Επίδραση μαγνητικόυ πεδίου
Βιομαγνητοϋδροδυναμική
Αριθμητικά σχήματα
Αλγόριθμος του Thomas
Μέθοδος ψευδομετάβασης
Μέθοδος line by line
Keywords (translated): Biomagnetic fluids
Influence of magnetic field
Biomagnetic fluid dynamics (BFD)
Numerical schemes
Thoma's algorithm
Psedotransient method
Line by line implicit method
Abstract: Η παρούσα εργασία εκπονήθηκε στο πλαίσιο Διπλωματικής διατριβής του Διατμηματικού Προγράμματος Μεταπτυχιακών Σπουδών «Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων» των Τμημάτων Μαθηματικού και Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής του Πανεπιστημίου Πατρών. Το φυσικό πρόβλημα που μελετάμε είναι η Ροή Βιομαγνητικού Ρευστού σε Ανεύρυσμα υπό την επίδραση Μαγνητικού Πεδίου. Θεωρούμε το αίμα ως μαγνητικό ρευστό και υποθέτουμε πως συμπεριφέρεται ως ένα ηλεκτρικά αγώγιμο, ομογενές και μη ισόθερμο Νευτώνειο μαγνητικό ρευστό που παρουσιάζει παράλληλα ιδιότητες σιδηρομαγνητικού (ferrofluid) ή παραμαγνητικού υλικού. Οι βασικοί στόχοι της μελέτης είναι η παρουσίαση μίας μεθοδολογίας αριθμητικής επίλυσης και η μελέτη της επίδρασης του μαγνητικού πεδίου στην ροή του αίματος στην περιοχή του ανευρύσματος. Το φυσικό πρόβλημα που μελετάμε είναι αυτό που μελετήθηκε στην εργασία Ε. Ε. Tzirtzilakis, Biomagnetic Fluid Flow in an Aneurism Using FerroHydroDynamics Principles, Physics of Fluids, 27, 061902, 2015, με την επιπρόσθετη υιοθέτηση των αρχών της Μαγνητοϋδροδυναμικής λόγω της ηλεκτρικής αγωγιμότητας. Στο πρώτο κεφάλαιο, παραθέτουμε ορισμένες εισαγωγικές έννοιες γενικά περί μαγνητικών ρευστών. Ακόμα αναφερόμαστε στα Βιομαγνητικά Ρευστά και πιο συγκεκριμένα στο αίμα, την σύνδεσή του με τα μαγνητικά ρευστά, τις ροϊκές μαγνητικές ιδιότητες αυτού, καθώς επίσης και διάφορες σχετικές εφαρμογές στην Ιατρική. Στο δεύτερο κεφάλαιο, περιγράφουμε κάποια αριθμητικά εργαλεία τα οποία χρησιμοποιούμε κατά την επίλυση του προβλήματος. Αρχικά παρουσιάζουμε βασικά αριθμητικά σχήματα πεπερασμένων διαφορών με την βοήθεια των οποίων γίνεται η προσέγγιση μερικών παραγώγων. Επιπλέον αναφερόμαστε στα είδη των προβλημάτων όπως αυτά ταξινομούνται με βάση την μορφή διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους που τα διέπουν καθώς και τις αντίστοιχες συνοριακές τους συνθήκες. Στην συνέχεια παρουσιάσουμε την μέθοδο διαδοχικών υπερχαλαρώσεων (Successive Over Relaxation - S.O.R.) η οποία είναι μια επαναληπτική μέθοδος που θα χρησιμοποιήσουμε για την επίλυση εξισώσεων του προβλήματος. Επιπροσθέτως παρουσιάζουμε τον αλγόριθμο του Thomas για την επίλυση αλγεβρικού συστήματος με τριδιαγώνιο πίνακα αγνώστων και μία επαναληπτική, μερικώς μη εκπεφρασμένη μεθοδολογία επίλυσης εξισώσεων με μερικές παραγώγους (line by line implicit method). Στο τρίτο κεφάλαιο παραθέτουμε την μαθηματική μοντελοποίηση του φυσικού προβλήματος που περιγράφεται από ένα συζευγμένο μη γραμμικό σύστημα διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους που υπόκεινται σε κατάλληλες συνοριακές συνθήκες. Οι εξισώσεις αυτές μετασχηματίζονται με την εισαγωγή της ρευματική συνάρτησης και του στροβιλισμού. Στη συνέχεια εκτελούμε διάφορους μετασχηματισμούς του φυσικού χωρίου και του υπολογιστικού πλέγματος, κατασκευάζουμε τις συνοριακές συνθήκες και παρουσιάζουμε τον αλγόριθμο της αριθμητικής επίλυσης του προβλήματος. Τέλος, στο τέταρτο κεφάλαιο παραθέτουμε αποτελέσματα για διάφορες τιμές των παραμέτρων που σχετίζονται με το φυσικό πρόβλημα. Εκτελούμε συγκρίσεις μεταξύ ροής του ρευστού υπό την επίδραση μαγνητικού πεδίου σε σύγκριση με την απλή υδροδυναμική περίπτωση, δηλαδή της ροής του ρευστού χωρίς την παρουσία μαγνητικού πεδίου. Η επίδραση του μαγνητικού πεδίου στην ροή είναι σημαντική τόσο για το πεδίο ταχυτήτων όσο και για το πεδίο θερμοκρασίας. Παρουσιάζουμε επίσης την σημαντική επίδραση του συντελεστή τριβής και μεταφοράς θερμότητας στα τοιχώματα.
Abstract (translated): This master thesis entitled “Biomagnetic fluid flow in an aneurism” was undertaken as part of the interdisciplinary post-graduate program "Mathematics of Computers and Decision Making" of the department of Mathematics and the Department of Computer Engineering and Informatics of the University of Patras, Greece. The physical problem which we study is the flow of a biomagnetic fluid into aneurism under the influence of an applied magnetic field. We assume that blood behaves as an electrically conducting, homogeneous and non-isothermal Newtonian magnetic fluid which presents properties of a ferromagnetic (ferrofluid) or paramagnetic material in association with those of an electrically conducting fluid. The main purposes of the study is the presentation of a numerical methodology for the solution of the problem and the study of the effect of the magnetic field on the flow of blood at the area of the aneurism. The physical problem which we study is the one considered in the paper [E.E Tzirtzilakis, Biomagnetic Fluid Flow in an Aneurism Using FerroHydrodynamics Pricinciples, Physics of Fluids, 27, 061902, 2015] with the additional adoption of the principles of Magnetohydrodynamics due to the electrical conductivity of blood. In the first chapter, we present some general concepts about magnetic fluids. We also refer to biomagnetic fluids and more specifically to blood, its connection with magnetic fluids, the flowing magnetic properties of it, as well as various related applications in Medicine. In the second chapter, we describe the tools which we use during the solution of the problem. Initially, we present some basic numerical schemes using finite differences. Furthermore, we refer to several types of problems that may appear with respect to the corresponding boundary conditions as well as their classification, based on the form of the differential equations that describe them. Hereafter, we present the method of Successive Over Relaxation – SOR - which is an iterative method that we use for the solution of the problem. In addition, we present Thoma’s algorithm for the solution of algebraic system with tridiagonal matrix of unknowns and one iterative, semi-implicit methodology for the solution of equations with partial derivatives (line by line implicit method). In the third chapter, we present the mathematical formulation of the physical problem which is described by a coupled non-linear system of differential equations with partial derivatives subject to appropriate boundary conditions. These equations are transformed by introducing the stream function-vorticity formulation. Then we perform various transformations of the computational plane, we present the construction of the boundary conditions and the algorithm for the numerical solution of the problem. Finally, in the fourth chapter, we present the results for different values of the parameters associated with the physical problem. We perform comparisons between the fluid flow under the influence of the magnetic field in comparison with the simple case of hydrodynamics case. The effect of the magnetic field on the flow is very important not only for the velocity field, but also for the temperature field. We also present the important influence of friction coefficient and heat transfer to the walls.
Appears in Collections:Τμήμα Μαθηματικών (ΜΔΕ)

Files in This Item:
File Description SizeFormat 
Iliopoulou(math).pdf1.38 MBAdobe PDFView/Open


Items in DSpace are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.